Сегодня рассмотрим одну из задач по теории вероятностей, которая часто вызывает вопросы. Пусть у нас есть urna с 5 белыми и 7 черными шарами. Два шара вынимают последовательно без возвращения. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

Шаг 1: Определим общее количество шаров.
Всего в урне 5 (белых) + 7 (черных) = 12 шаров.

Шаг 2: Найдем вероятность вынуть первый черный шар.
Есть 7 черных шаров из 12. Вероятность P(первый черный) = 7/12.

Шаг 3: Найдем вероятность вынуть второй черный шар, при условии, что первый был черным
После того, как мы вынули один черный шар, в урне осталось 11 шаров. Из них черных стало 7 - 1 = 6. Соответственно, вероятность P(второй черный | первый черный) = 6/11.

Шаг 4: Перемножим вероятности.
Чтобы найти вероятность того, что оба события произойдут, нужно перемножить вероятности из Шага 2 и Шага 3: P(оба черные) = P(первый черный) * P(второй черный | первый черный) = (7/12) * (6/11).

Шаг 5: Вычислим результат.
(7/12) * (6/11) = 42/132. Это дробь можно сократить. Оба числа делятся на 6: 42 / 6 = 7, 132 / 6 = 22. Итоговая вероятность = 7/22.

Ключевые моменты:

• Последовательное извлечение без возвращения меняет общее количество и количество благоприятных исходов.
• Для нахождения общей вероятности цепочки зависимых событий используется правило умножения вероятностей.

Эта задача, классический пример применения основных правил математического анализа в контексте вероятности. Понимание таких простых случаев, фундамент для решения более сложных математических задач.