Когда времени на подготовку к ЕГЭ катастрофически не хватает, а учебники кажутся бесконечными, на помощь приходят компактные шпаргалки с основными формулами по математике. Я собрал самые важные для базовой и профильной математики, которые точно пригодятся на экзамене.

Тригонометрия:

• Основное тождество: `sin²(α) + cos²(α) = 1`
• Формулы приведения: `sin(π/2 - α) = cos(α)`, `cos(π/2 - α) = sin(α)` и т.д.
• Формулы двойного угла: `sin(2α) = 2sin(α)cos(α)`, `cos(2α) = cos²(α) - sin²(α)`
• Теорема синусов: `a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2R`
• Теорема косинусов: `c² = a² + b² - 2ab cos(γ)`

Планиметрия (Геометрия на плоскости):

• Площадь треугольника: `1/2 * a * b * sin(γ)` (через две стороны и угол между ними); `sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` (Герон); `1/2 * основание * высота`.
• Площадь параллелограмма: `a * h` или `a * b * sin(γ)`
• Площадь трапеции: `(a+b)/2 * h`
• Вписанная и описанная окружности: радиусы и их связь со сторонами и площадью.

Стереометрия (Геометрия в пространстве):

• Объемы: пирамиды (`1/3 * S_осн * h`), конуса (`1/3 * π * R² * h`), цилиндра (`π * R² * h`), шара (`4/3 * π * R³`).
• Площади поверхностей: цилиндра (`2πRh + 2πR²`), конуса (`πR * l + πR²`, где `l`, образующая), шара (`4πR²`).

Производные и интегралы (для профильного ЕГЭ):

• Производная степенной функции: `(xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹`
• Производная суммы/разности/произведения/частного
• Геометрический смысл производной: `f'(x₀)`, тангенс угла наклона касательной.
• Первообразная: `∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C`

Это лишь малая часть, но самые необходимые формулы, которые встречаются в математических задачах ЕГЭ. Я рекомендую не просто переписывать, а пытаться выводить их самостоятельно, чтобы лучше запомнить. Это поможет и в решении, и в понимании алгебры…

FAQ:

• Можно ли использовать свои шпаргалки на ЕГЭ?
• Нет, на самом экзамене шпаргалки запрещены. Их нужно использовать только для подготовки.
• Каких формул не хватает в этом списке?
• Стоит добавить формулы логарифмов, более сложные тригонометрические уравнения и преобразования, а также специфические формулы для задач с параметрами.

Когда речь заходит о выборе между квадратом и прямоугольником в школьных задачах, часто возникает путаница. Оба они относятся к четырехугольникам, но квадрат, это частный случай прямоугольника. Понимание этого различия ключевое для правильного решения многих геоемтрических задач.

Прямоугольник, это четырехугольник, у которого все углы прямые (90 градусов). Его противоположные стороны равны и параллельны. периметр вычисляется как `2 * (a + b)`, а площадь, как `a * b`, где `a` и `b`, длины смежных сторон.

Квадрат, это тоже прямоугольник, но с одним важным отличием: у квадрата все стороны равны. Следовательно, все углы у него тоже прямые. Его периметр `4 * a`, а площадь `a * a` (или `a^2`), где `a`, длина стороны.)))

• Прямоугольник:
• Углы: 90, 90, 90, 90 градусов.
• Стороны: противоположные равны (a=c, b=d), все стороны не обязательно равны.
• Диагонали: равны, пересекаются, делятся пополам.)))
• Периметр: `2 * (a + b)`
• Площадь: `a * b`
• Квадрат:
• Углы: 90, 90, 90, 90 градусов.
• Стороны: все равны (a=b=c=d).)))
• Диагонали: равны, пересекаются, делятся пополам, перпендикулярны, делят углы пополам.
• Периметр: `4 * a`
• Площадь: `a * a`

Когда что выбирать:

Если в задаче сказано «прямоугольник», то его стороны могут быть как равны, так и нет. Если же сказано «квадрат», то все стороны равны по определению. Важно помнить, что квадрат, это частный, более «строгий» случай прямоугольника. Эта особенность часто используется в задачах на доказательство или на поиск максимальной/минимальной площади/периметра.

FAQ:

• Может ли прямоугольник быть квадратом?
• Да, если его стороны равны.
• Всегда ли диагонали квадрата перпендикулярны?
• Да, это одно из его свойств.