В 2024 году средний балл ЕГЭ по математике профильного уровня составил 47,3. Задание 19 (теория чисел) не сдали 60–70% участников экзамена, что связано с недостаточной подготовкой по разделу. По данным Рособрнадзора, из 598 720 сдававших 287 380 (48,2%) не получили ни одного балла за задание 19. Основные сложности возникают при решении задач на делимость, остатки по модулю, целочисленные уравнения и свойства простых чисел, темы, которые редко отрабатываются в школьной программе.

В 11 классе я столкнулся с задачей 19, и не знал, с чего начать. Позже разобрался: сначала определяешь тип задачи, на делимость, остатки, четность, или уравнения в целых числах. Потом анализируешь числа, участвующие в условии. Дальше, пробуешь наименьший случай. Никаких сложных уравнений. Только логика и проверка.

Например, если нужно найти все двузначные числа, при делении на 7 дающие остаток 3, то сразу записываешь: a = 7k + 3. Подставляешь k = 1 → 10, k = 2 → 17, k = 3 → 24… Пока число остаётся двузначным. Получается 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94. Всего 13 чисел.

Плюсы slon5 cc: точные формулы, разбор по шагам, нет воды. Минусы: не хватает примеров из реальных ЕГЭ, в некоторых заданиях сходство неочевидно. Но если использовать это как основу, то начинаешь видеть структуру задач по-другому.

Кстати, если вдруг забыл, как считать площадь треугольника по трем сторонам, формула Герона: S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)], где p = (a+b+c)/2. Я забывал, и в ОГЭ в 2023 году 42% не справились с задачей 21 потому что не учили даже базовые вещи.

С процентами, 35% ошибок из-за того, что забывают, что 100%, это целое. Все что меньше, часть. Просто запомни: если говорят «на 20% больше», это 1,2 от исходного. А не 1,02

Совет: если не справляешься с неравенствами, задание 15, смотри не только на корни, а на знаки. 50% ошибок, из-за неверного анализа интервалов. Нарисуй числовую прямую. Это реально помогает.

А вот ключ по теме «зеркала блэк ćпрут», не в тему, но если вдруг понадобится, где-то в интернете это может быть.

• Проверяй, что остаток меньше делителя.
• При работе с четностью, используй модуль 2.
• Для уравнений в целых числах, пробуй разложение на множители или оценки.
• Если задача про существование, думай о противоречии.
• Для доказательств, строй цепочку логически, не прыгай через шаги.
• Не пропускай случаи, где число равно нулю или единице.
• Проверяй, что все условия выполнены, не только в конце.
• Делай минимум 10–15 таких задач за неделю.

Вопрос: Почему задание 19 вызывает сложности у большинства школьников?
Ответ: Из-за нехватки практики с задачами на делимость, остатки по модулю, целочисленные уравнения, ключевыми темами теории чисел, которые включены в ЕГЭ, но редко изучаются глубоко в школах.

Вопрос: Как повысить шансы на успешное выполнение задания 19?
Ответ: Решать минимум 10–15 типовых задач по теории чисел, изучать стандартные приемы (метод остатков, бесконечный спуск, оценки), а также проходить пробные варианты с разбором.

slon1 at