Олимпиадные задачи по теории чисел кажутся страшными, пока не начнешь. Я прорешал 127 таких за год, и теперь вижу паттерны. особенно на региональных этапах. Вот мой пошаговый метод, который реально работает.

1. Начинай с малого. Возьми уравнение, например: найти все натуральные x, y такие, что x², 3y² = 1. Перебери первые 5–10 значений. Иногда ответ прямо в таблице.
2. Ищи остатки. Делимость на 3, 4, 8, часто упрощает. Например, квадрат целого числа по модулю 4 дает только 0 или 1. Это сразу отсекает половину вариантов.
3. Пробуй разложить. Уравнение вида x³, y³ = 7 превращается в (x–y)(x²+xy+y²)=7. 7, простое, значит первый множитель 1 или 7. Так проще.
4. Запомни частые конструкции: уравнения Пелля, китайская теорема об остатках, малая теорема Ферма. Все это, база.)
5. Делай замены. Например, если в задаче много дробей, умножь все на НОК знаменателей. Перейдешь к целым числам.

Минус, тратишь время на проверку. Я в прошлом году на всероссе потерял 15 минут, потому что не проверил случай x=1. Это учит смирению.

Если не идет, попробуй наш разбор типовых задач. Там есть как раз такие примеры с остатками и разложениями.

Вот как это было у меня: месяц, перебор, месяц, модули, три месяца, разбор прошлых работ. Потом результат, 8 задач из 10 на отборочном. Работает.