Разберём задачу с реального ЕГЭ-2025 (задание 17). Она была в резервном варианте, и многих поставила в тупик. Но если идти по шагам, решается за 12 минут.

Задача: Найдите все значения параметра a, при которых уравнение √(x+2a) = x имеет ровно одно решение.

1. ОДЗ: x + 2a ≥ 0 и x ≥ 0, потому что справа √, всегда ≥ 0, значит x ≥ 0.
2. Возводим обе части в квадрат: x + 2a = x².)))
3. Получаем: x², x, 2a = 0.
4. Чтобы было одно решение в ОДЗ, возможны два случая: либо один корень лежит в ОДЗ, второй, нет; либо два корня совпадают (D=0) и подходят.
5. Считаем D = 1 + 8a. При D=0: a = –1/8. Тогда x=0.5, подходит, так как x ≥ 0.
6. Теперь случай, когда один корень в ОДЗ, второй, нет. Корни: x₁,₂ = [1 ± √D]/2. Так как x ≥ 0, то меньший корень [1, √D]/2 должен быть < 0, а больший — ≥ 0.
7. Решаем неравенство [1, √D]/2 < 0 → √D > 1 → D > 1 → a > 0.)))
8. Проверяем: при a > 0, один корень положительный, второй, отрицательный. Условие ОДЗ выполняется только для положительного.

Итог: a = –1/8 или a > 0

Ошибка: забыть проверить ОДЗ после возведения в квадрат. У меня так было, потерял 3 балла.

Тренироваться можно на аналогичных задачах с параметром.